Calcular el volumen de nuestra pirámide trirrectangular de la semana pasada es muy candoroso: basta recordar que el volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura, y que, aunque la base “oficial” sea el triángulo mayor (el formado por las tres hipotenusas), podemos tomar como base cualquiera de las caras, por ejemplo, el triángulo rectángulo de catetos a y b; el tercer cateto, c, será la altura, y, por tanto, el volumen será V = ab/2 x c/3 = abc/6. A partir de aquí, es fácil, aunque engorroso, calcular la altura h correspondiente a la base mayor: si llamamos S al área de dicha base, tendremos que:
V = Sh/3 = abc/6, de donde h = abc/2S
Podemos calcular S a partir de los tres lados del triángulo formado por las tres hipotenusas: √(a2+b2), √(a2+c2), √(b2+c2), aplicando la fórmula de Herón:
S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] , donde s es el semiperímetro del triángulo: (a+b+c)/2
Más información¿La dama o el tigre?
Esta es la forma conceptualmente más sencilla de hallar h; pero en la sección de comentarios de la semana pasada encontrarás otras más sutiles propuestas por nuestros sagaces comentaristas habituales.
Y como abc es el volumen de un ortoedro de aristas a, b y c, cabe programar el siguiente rompecabezas geométrico: con seis tetraedros trirrectángulos de catetos 1, 2 y 3, componer un ortoedro de 1x2x3 (y/o cualquier otro sólido compacto de volumen igual a 6 unidades cúbicas).
Un manicomio de locos
Y hablando de nuestros sagaces comentaristas habituales, no han prestado ninguna atención a los acertijos de la dama y el tigre, tal vez por considerarlos demasiado fáciles, así que insistiré con otro del mismo tipo un poco más complicado (a la par que siniestro).
El método del doctor Brea y el docente Pluma no está entre los relatos más conocidos de Edgar Allan Poe, pero sí entre los más inquietantes. Y basándose en él, Raymond Smullyan compuso un acertijo no a excepción de perturbador:
El inspector Craig, de Scotland Yard, visitó un manicomio dirigido por el doctor Brea y el docente Pluma, en el que también residían otros médicos, junto con un cierto número de enteros. A un residente se le llamaba “peculiar” si creía que era un entero, y “especial” si todos los enteros creían que era peculiar y ningún médico lo creía. Craig descubrió que al a excepción de un residente estaba cuerdo y que se cumplía la siguiente condición: cada residente tenía un amigo íntimo, y dado cualquier par de residentes, A y B, si A creía que B era especial, el amigo íntimo de A creía que B era un entero. Tras este descubrimiento, Craig se entrevistó en privado con el doctor Brea y con el docente Pluma. He aquí lo que habló con el primero:
-Dígame, doctor Brea, ¿están cuerdos todos los médicos de este manicomio?
-¡Pues claro!
-¿Y los enteros, están todos locos?
-Al a excepción de uno lo está.
A continuación, Craig mantuvo con el docente Pluma el siguiente diálogo:
-Dice el doctor Brea que al a excepción de uno de los enteros está loco, ¿es eso cierto?
-¡Claro que es cierto, todos los enteros están locos!
-¿Y los médicos, están todos cuerdos?
-Al a excepción de uno lo está.
-¿Está cuerdo el doctor Brea?
-¡Pues claro! ¿Cómo se atreve a preguntarme una cosa así?
Sabiendo que todas las creencias de los cuerdos son acertadas y todas las de los locos son erróneas, y que unos y otros son plenamente sinceros y siempre dicen lo que creen, ¿a qué conclusión llegó el inspector Craig?
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